Quand on leur pose la question “quelle est la plus belle formule des mathématiques ?”, la plupart des mathématiciens répondent :
e i π + 1 = 0
Cette formule est due à Leonhard Euler (1707 – 1783), auteur également de la formule plus utile mais moins belle :
e i x = cos x + i sin x
Remarque : Cette formule est utile en particulier en trigonométrie.
Beauté d’une formule
À quoi tient la beauté de cette formule ? Sans doute dans la réunion des cinq constantes les plus importantes des mathématiques : 0 et 1, les neutres de l’addition et de la multiplication, le nombre complexe i, racine carrée de –1 et les deux principales constantes transcendantes : e et π. Nous y voyons apparaître aussi les lois les plus usuelles : addition, multiplication et exponentiation tandis que le cercle se devine sous la présence du nombre d’Archimède : π. De plus, cette formule lie l’arithmétique (0 et 1), l’algèbre (le nombre i), la géométrie (le nombre π) et l’analyse (le nombre e et l’exponentielle).
Beauté d’une preuve
Cette beauté se retrouve dans une démonstration. D’après la formule d’Euler ci dessus, e i x est représenté dans le plan par le point du cercle trigonométrique (centre 0, rayon 1) à l’extrémité du rayon d’angle au centre x (avec l’horizontale). En faisant varier x de 0 à π, ce point passe de 1 à –1. En ajoutant 1 à eiπ, on atteint alors 0. La formule : e i π + 1 = 0 est ainsi démontrée par le mouvement d’un point sur un cercle.
Beauté d’un objet
Lors du tricentenaire d’Euler, cette formule nous a inspiré un bel objet : une lampe en verre que nous vous laissons admirer.
Identité d'Euler
